Entrega Final - Series Cronológicas

Facultad de Ciencias Económicas y Administración - 2025 - UDeLaR

Leandro Berrueta, Lucca Frachelle, Cecilia Waksman

Introducción

El presente trabajo se desarrollará en base a la serie mensual de la cantidad de clientes con deuda vigente en el Banco Santander durante el período de Diciembre 2018 a Marzo 2025, proveniente de la central de riesgos que se informa al Banco Central del Uruguay (BCU).

La serie se encuentra constituida por 76 observaciones.

Dada la baja cantidad de observaciones disponibles se utilizará, a los efectos de identificar el modelo que logre representar el comportamiento de la serie, los datos de hasta Diciembre del 2024 inclusive (73 observaciones en total).

Las tres observaciones restantes, referidas al año 2025, serán utilizadas con el fin de contrastar el desempeño de la predicción.

Gráfico de la Serie Temporal

Identificación del Modelo

Análisis en el Dominio del Tiempo: Función de Autocorrelación (FAC)

La FAC decrece lentamente y de forma persistente, con coeficientes de autocorrelación significativos que se mantienen altos incluso en los mayores rezagos y que, por ende, no se comportan de acuerdo al decaimiento exponencial que caracteriza a las series débilmente estacionarias.

Además, las autocorrelaciones significativas en rezagos altos sugieren la presencia de una tendencia.

Análisis en el Dominio del Tiempo: Función de Autocorrelación Parcial (FACP)

La FACP muestra un coeficiente significativo en el primer rezago y luego decae rápidamente, no habiendo otro rezago que resulte significativo al nivel de significación usual del 5%.

Se concluye de este primer análisis del Dominio del Tiempo en la posibilidad de aplicar, al menos, una Primera Diferencia Regular a la misma.

Análisis en el Dominio de Frecuencias de la Serie Original

Mediante el Periodograma Suavizado de la serie es posible respaldar la idea de que la misma presenta una tendencia que debería ser modelada.

En particular, las frecuencias más próximas a \(0\), y por ende las asociadas a ciclos de período próximo a infinito (el componente tendencial) explican la mayor parte de la variabilidad de la serie.

Contrastes de Raíces Unitarias

  • Contraste de Dickey-Fuller Aumentado (DF o DFA)

  • Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (KPSS).

Dickey-Fuller Aumentado

Resultados del Test de Dickey-Fuller Aumentado
Estadístico VC.1. VC.5. VC.10.
tau3 (con tendencia) -0.8745181 -4.04 -3.45 -3.15
phi2 9.9484835 6.50 4.88 4.16
phi3 2.3435201 8.73 6.49 5.47


No se rechaza la Hipótesis Nula de que la serie presente una raíz unitaria a ninguno de los niveles de significación planteados. De esta manera se tiene un respaldo estadístico para aplicar la Primera Diferencia Regular.

KPSS

Resultados del Test KPSS (con tendencia)
Item Valor
Estadístico de Test 0.2567046
Valor Crítico 10% 0.1190000
Valor Crítico 5% 0.1460000
Valor Crítico 2.5% 0.1760000
Valor Crítico 1% 0.2160000


Como resultado se rechaza la Hipótesis Nula de que la serie sea Integrada de Orden \(0\), lo que nuevamente da un respaldo estadístico para la aplicación de la Primera Diferencia Regular en los datos.

Serie Diferenciada de acuerdo a la Primera Diferencia Regular

Serie Diferenciada de acuerdo a la Primera Diferencia Regular

La Primera Diferencia Regular adquiere un comportamiento más próximo al estacionario que la serie original.

  • La tendencia ha sido eliminada.

  • La Media parece ser constante.

  • La Varianza no se comporta de forma constante, lo que sugiere la posible presencia de datos atípicos, particularmente a fines de los años 2019, 2021 y 2023.

Considerando los años por separado, la serie diferenciada se comporta de forma similar en todos los años disponibles, excepto en 2019 y 2023, en los meses de Septiembre y Octubre en particular. Esto es un indicio de posibles outliers que requieran intervención.

Separando los datos de acuerdo a los meses se desprende que los meses de Marzo, Junio, Septiembre y Diciembre presentan medias mayores en comparación al resto de los meses.

FAC y FACP de la Serie Diferenciada

Presencia de coeficientes significativos en los rezagos \(3, \ 6, \ 9\), con una rápida aproximación a las bandas de confianza. Los coeficientes asociados a los rezagos \(12\) y \(24\) también resultan significativos, indicio de que la serie presente un componente estacional.

Las observaciones se encuentran autocorrelacionadas con sus valores de 3, 6 y 9 meses atrás.

Dominio de Frecuencias: Análisis del Espectro de la Serie Diferenciada

La Primera Diferencia Regular elimina el componente tendencial, al presentar bajos valores en las frecuencias más bajas.

Se realza el peso de las frecuencias que se encuentran en torno a \(\omega_{\max} = 2.10\) asociadas a ciclos de período \(3\). Se incrementó la importancia de los ciclos que se repiten cada 3 meses a la hora de explicar la variabilidad de la serie.

Contrastes de Raíces Unitarias para la Segunda Diferencia Regular

Dickey-Fuller Aumentado

Resultados del Test de Dickey-Fuller Aumentado
Estadístico VC.1. VC.5. VC.10.
tau2 (con constante) -10.23177 -3.51 -2.89 -2.58
phi1 52.41887 6.70 4.71 3.86


Se rechaza la Hipótesis Nula de que la serie presente una raíz unitaria en todos los niveles de significación planteados.

KPSS

Resultados del Test KPSS (con constante)
Item Valor
Estadístico de Test 0.2987105
Valor Crítico 10% 0.3470000
Valor Crítico 5% 0.4630000
Valor Crítico 2.5% 0.5740000
Valor Crítico 1% 0.7390000


El no rechazo de la Hipótesis Nula de que la serie sea Integrada de Orden \(0\), lo que nuevamente da un respaldo estadístico para continuar trabajando con la serie diferenciada, sin aplicar una Segunda Diferencia Regular (\(d = 2\)).

Serie Diferenciada de acuerdo a Primera Diferencia Regular y Primera Diferencia Estacional

Observar la FAC y FACP en los múltiplos de \(12\). La significación tanto del primer coeficiente de autocorrelación como de autocorrelación parcial sugiere la utilización de \((P = 1, D = 1, Q = 0)\) o \((P = 0, D = 1, Q = 1)\) para la parte estacional de un primer modelo \(\text{SARIMA}\).

La Primera Diferencia Regular en conjunto con la Primera Diferencia Estacional resultan en un Periodograma Suavizado semejante al de un Ruido Blanco.

Observése el comportamiento del Periodograma Original, donde se alcanzan picos sucesivos en las frecuencias más altas, lo que está asociado a ciclos de período bajo.

Modelo Final Propuesto: SARIMA(2,1,0)(1,1,0)

Outliers


Se partió de un Modelo \(\text{SARIMA}(3,1,0)(0,0,0)\) con \(\phi_1 = \phi_2 = 0\) en base al análisis anterior.

Los residuos estandarizados indicaron la presencia de outliers. A su vez, se rechazó la Hipótesis Nula de Normalidad en los contrastes de Shapiro-Wilk y Jarque-Bera, lo que motivó la intervención de los siguientes puntos anómalos:

  • Outlier Aditivo en Setiembre de 2019.

  • Cambio Transitorio en Diciembre de 2019.

  • Cambio Transitorio en Diciembre de 2021.

  • Outlier Aditivo en Febrero de 2023.

  • Outlier Aditivo en Agosto de 2023.

  • Cambio Transitorio en Octubre de 2023.

  • Cambio Transitorio en Junio de 2024.

Ajuste del Modelo Final

Coeficientes del Modelo SARIMA(2,1,0)(1,1,0)
Characteristic Beta1 SE 95% CI p-value
ar1 0.00 0.000

ar2 0.44*** 0.124 0.19, 0.68 <0.001
sar1 -0.48** 0.150 -0.77, -0.18 0.002
AO10 19,189*** 1,829 15,603, 22,774 <0.001
TC13 17,394*** 2,542 12,412, 22,375 <0.001
TC37 11,534*** 1,978 7,658, 15,411 <0.001
AO51 5,588*** 1,557 2,536, 8,641 <0.001
AO57 7,679*** 1,637 4,470, 10,888 <0.001
TC59 -11,055*** 2,235 -15,436, -6,674 <0.001
TC67 -13,023*** 2,419 -17,763, -8,283 <0.001
Abbreviations: CI = Confidence Interval, SE = Standard Error
1 *p<0.05; **p<0.01; ***p<0.001

Criterios de Información y Medidas de Error


Criterios de Información del Modelo SARIMA(3,1,0)(0,0,0)
AIC AICc BIC
1472.034 1472.208 1476.587


Criterios de Información del Modelo SARIMA(2,1,0)(1,1,0)
AIC AICc BIC
1140.64 1145.13 1161.583


Medidas de Error del Modelo SARIMA(2,1,0)(1,1,0)
ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1
Training set 312.1445 2426.677 1788.985 0.0756968 0.4437388 0.0718602 0.1243762

Diagnóstico de Residuos

Buen comportamiento de los residuos. No hay coeficientes de autocorrelación ni autocorrelación parcial que resulten significativos.

Test de Ljung-Box


Test de Ljung-Box para Residuos del Modelo SARIMA(2,1,0)(1,1,0) (Rezagos 3, 6, 9, 12 y 24)
statistic p.value parameter method
3.459295 0.0000000 0 Box-Ljung test
3.699865 0.2957504 3 Box-Ljung test
11.753917 0.0676892 6 Box-Ljung test
14.198213 0.1154471 9 Box-Ljung test
31.505574 0.0656457 21 Box-Ljung test


Los p-valores asociados al contraste de Ljung-Box son particularmente bajos. Esta modelización puede estar incumpliendo el supuesto de residuos no autocorrelacionados.

Análisis de Normalidad

Contrastes de Normalidad

Tests de Normalidad para Residuos del Modelo SARIMA(2,1,0)(1,1,0)
Test statistic p.value method parameter
Shapiro-Wilk 0.9863716 0.6212044 Shapiro-Wilk normality test NA
Jarque-Bera 0.7470338 0.6883094 Jarque Bera Test 2


Los Contrastes de Normalidad resultan en el no rechazo de la correspondiente Hipótesis Nula, por lo que no se dispone de evidencia estadísticamente significativa de que los residuos no se distribuyan de acuerdo a una Distribución Gaussiana.

Homocedasticidad

La significación de los coeficientes de autocorrelación y autocorrelación parcial de orden 6 sugiere el posible incumplimiento del supuesto de homocedasticidad.

Test de Ljung-Box

Test de Ljung-Box para el Cuadrado de los Residuos del Modelo SARIMA(2,1,0)(1,1,0) (Rezagos 3, 6, 9, 12 y 24)
statistic p.value parameter method
1.442034 0.0000000 0 Box-Ljung test
9.094460 0.0280610 3 Box-Ljung test
11.636340 0.0705911 6 Box-Ljung test
14.860645 0.0948356 9 Box-Ljung test
21.160442 0.4491840 21 Box-Ljung test


Los resultados del contraste de Ljung-Box respaldan esta idea, si se considera los rezagos más pequeños.

Contraste de Media Nula de los Residuos

Tests de Media Nula para Residuos del Modelo SARIMA(2,1,0)(1,1,0)
estimate statistic p.value parameter
312.1445 1.100609 0.2747331 72


No se rechaza la Hipótesis Nula de que los residuos tengan una media distinta de \(0\).

Predicción

El Modelo a utilizar es un \(\text{SARIMA}(2,1,0)(1,1,0)\) con \(\phi_1 = 0\), que puede expresarse como:

\[ (1-L)(1-L^{12})(1-L^2{\phi}_2)(1-L{\Phi}_1)Y_t = \epsilon_t \]

Donde \(Y_t\) denota a la serie de datos original, \(L\) al operador de rezagos y \(\epsilon_t\) un ruido blanco.

\({\phi}_2\) y \({\Phi}_1\) son los coeficientes respectivos de las partes AR del componente regular y estacional del Modelo.

Enero, Febrero y Marzo de 2025

Se realiza predicciones para los meses de Enero, Febrero y Marzo de 2025, a efectos de contrastarla con las tres observaciones que no se utilizaron a la hora de ajustar el Modelo.

Se predice que la Cantidad de Clientes con Deuda Vigente en el Banco Santander aumentará, respecto al mes de Diciembre de 2024, en un 0.21%, 0.22% y 1.53% para los meses de Enero, Febrero y Marzo de 2025, respectivamente. En la realidad, dichas variaciones porcentuales fueron de 0.27%, 1,90% y 1.81% respectivamente, lo que comienza a evidenciar una característica que se repetirá durante el siguiente análisis: la subestimación a la hora de predecir por parte del Modelo planteado.

Inrtervalos de Predicción

Intervalos de Predicción al 50% de los Primeros 3 Meses de 2025 contra Realidad
Fecha Límite Inferior 50% Predicción Límite Superior 50% Realidad Capturado
Enero - 2025 494652.4 496610.6 498568.8 496939 Si
Febrero - 2025 493933.3 496702.7 499472.1 504989 No
Marzo - 2025 499202.9 503148.9 507094.8 504575 Si


Intervalos de Predicción al 96% de los Primeros 3 Meses de 2025 contra Realidad
Fecha Límite Inferior 96% Predicción Límite Superior 96% Realidad Capturado
Enero - 2025 490648.0 496610.6 502573.2 496939 Si
Febrero - 2025 488270.3 496702.7 505135.1 504989 Si
Marzo - 2025 491133.9 503148.9 515163.8 504575 Si

Resultados

Se puede apreciar que se captura al 50% de confianza el valor real de la serie en los meses de Enero y Marzo de 2025. Sin embargo, el valor de Febrero de 2025 requiere utilizar un intervalo de amplitud mayor asociado a una confianza aproximada del 96%.

Métricas sobre los errores de predicción


Métricas de Predicción - SARIMA\((2,1,0)(1,1,0)\)
ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1 Theil’s U
Training set 312.1445 2426.677 1788.985 0.0757 0.4437 0.0719 0.1244 NA
Test set 3346.9395 4858.133 3346.939 0.6632 0.6632 0.1344 -0.6559 1.0427

2024 y 2025

También se realiza predicciones para el 2024 y los primeros tres meses de 2025, utilizando el mismo modelo propuesto pero entrenándolo con las observaciones disponibles hasta Diciembre de 2023.

Se nota una diferencia en la pendiente de la predicción puntual y la realidad. La primera tiende a ser cada vez menor que la segunda a medida que aumenta el horizonte de predicción.

Métricas sobre los errores de predicción


Métricas de Predicción - SARIMA\((2,1,0)(1,1,0)\)
ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1 Theil’s U
Training set 107.9246 2461.756 1768.281 0.0339 0.4512 0.0753 0.1116 NA
Test set 14604.1749 18096.407 14604.175 3.0075 3.0075 0.6222 0.7409 2.9412

A partir de Junio de 2024

Considerando una muestra de entrenamiento con límite en Junio de 2024, tal que se incorpore el cambio transitorio identificado para ese mes.

La predicción para los siguientes meses resulta bastante precisa. Es solo a partir de Diciembre del 2024 que se observa una discrepancia relativamente mayor con la serie empírica con tendencia a subestimar.

Métricas sobre los errores de predicción


Métricas de Predicción - SARIMA\((2,1,0)(1,1,0)\)
ME RMSE MAE MPE MAPE MASE ACF1 Theil’s U
Training set 247.9815 2393.661 1743.755 0.0638 0.4397 0.076 0.1366 NA
Test set 5983.7858 8183.217 6172.520 1.2035 1.2432 0.269 0.6178 1.1937

Predicción del crecimiento a 2025

Predicción de Crecimiento para Diciembre de 2025
Fecha Prediccion Crecimiento % CI 96% Inferior CI 96% Superior
Diciembre - 2025 497713.3 0.43% -0.77% 1.63%
Crecimiento Interanual Histórico y Predicho (Diciembre a Diciembre)
Año Crecimiento Interanual %
2019-2018 9.27
2020-2019 -2.79
2021-2020 12.76
2022-2021 7.81
2023-2022 1.75
2024-2023 12.10
2025-2024 (Predicción) 0.43

Descomposición de la Serie


Mediante la función x13 (asociada al método estadístico del mismo nombre) del paquete RJDemetra se llevó acabo la descomposición de la serie (de acuerdo a términos aditivos), tomando en cuenta el Modelo Final planteado anteriormente.

Como resultado se obtuvo la descomposición de la serie, lo que permitió computar una serie desestacionalizada.

Resultados

Resultados

En los dos primeros gráficos se puede notar como la serie se ha vuelto más suave, no reflejando las periodicidades de la serie original.

En el tercer gráfico se compara la serie desestacionalizada con el componente tendencial, siendo posible identificar los apartamientos de la tendencia debido a los outliers destacados previamente.

Componente estacional

El componente estacional se comporta de forma esperable, presentando, en general, picos de altura similar cada 12 meses.

A su vez, los picos ocurren, en general, con una frecuencia trimestral, lo que va de la mano con el hecho de que en los meses de Marzo y Septiembre incluyan períodos vacacionales que incentivan la solicitud de créditos mientras que en Junio y Diciembre aumente en el número de deudores debido a el pasaje de deudas no vigentes a vigentes.

Componente irregular

El componente irregular refleja en su comportamiento la inclusión de los outliers, que fueron de tipo aditivo y de cambio transitorio.

A las predicciones realizadas en el punto anterior, se le agrega las predicciones de los componentes tendencial así como de la serie desestacionalizada:

Se espera, entonces, que la tendencia de la Cantidad de Clientes con Deuda en el Banco Santander continúe aumentando en el tiempo, más allá de la estacionalidad que caracteriza a la serie.

Comentarios Finales


Respecto al Modelo \(\text{SARIMA}(2,1,0)(1,1,0)\) se debe tener en cuenta que:

  • Se logra el no rechazo de los Contrastes de Normalidad utilizando siete intervenciones por atípicos, lo que dada la baja cantidad de observaciones disponibles puede resultar un número no deseable.

  • El supuesto de residuos no autocorrelacionados puede no estar cumpliéndose, tal y como se refleja en los p-valores del Contraste de Ljung-Box, que resultan cercanos al 5%.

  • Dadas dos muestras de entrenamiento se observó la tendencia a subestimar por parte del modelo.



No obstante lo anterior, esta modelización presenta los siguientes puntos a destacar:

  • El Modelo \(\text{SARIMA}\) resultante es de bajo orden, lo que va de la mano con la idea de que los modelos de este tipo sean los mejores a la hora de predecir, además de resultar más parsimoniosos.

  • Si bien se tiene indicios de que puede no estar cumpliéndose el supuesto de homocedasticidad, la transformación logarítmica no logra homogeneizar la Varianza de la serie, por lo que se se descarta la aplicación de dicha transformación.

  • Se logra predecir con éxito a un bajo nivel de confianza dos de tres valores que tomó la serie en 2025: los asociados a los meses de Enero y Marzo. En el caso de Febrero se subpredice el valor que toma efectivamente la serie.

  • Ensayando el Modelo sugerido por x13 (\(\text{SARIMA}(0,1,0)(1,0,1)\)) también se observa la tendencia a subestimar a la hora de predecir, con el detalle de que en este se hace de forma más notoria que el Modelo Original, evidenciado por los valores más altos en las métricas ME, MAE, MPE y MAPE.

¿Preguntas?

Gracias!!!